диплом Комбинаторные свойства выпуклых многогранников 3 (id=idd_1909_0000705)

СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ 6
1.1. Выпуклые многогранники и их свойства 6
1.2. Правильные многогранники и их свойства 9
1.3. Полуправильные многогранники 18
1.4. Звездчатые многогранники 24
ГЛАВА 2. КОМБИНАТОРИКА ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ: ТЕОРЕМЫ 30
2.1. Теорема Эйлера о многогранниках и классификация правильных многогранников 30
2.2. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данным набором граней и ее обобщения 33
2.3. Графы многогранников 37
ГЛАВА 3. КОМБИНАТОРИКА ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 40
3.1. Роль и задачи школьного курса стереометрии в изучении комбинаторики выпуклых многогранников 40
3.2. Анализ учебной и методической литературы по изучению комбинаторики выпуклых многогранников 42
3.3. Задачи школьного курса с решением комбинаторики выпуклых многогранников на основании теорем 49
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 56
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 58


ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Комбинаторика выпуклых многогранников тесно связана со многими разделами математики – в особенности, с линейным программированием и математической экономикой, с дискретной математикой, с задачами оптимизации, с теорией чисел, с топологией, с алгебраической геометрией и математической физикой.
Удивительно то, что при огромном разнообразии правильных многоугольников, правильных многогранников из них можно получить лишь пять. И доказать это не сложно. Давно было замечено, что между числом граней, рёбер и вершин многогранника есть простое соотношение. По таблице видно, что сумма всех граней и числа вершин всегда на 2 больше числа рёбер. Это наблюдение верно для любого выпуклого многогранника и составляет содержание теоремы Эйлера.
Многогранник – это часть пространства, ограниченная соединенными между собой многоугольниками так, что сами многоугольники являются его гранями, стороны – ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. В зависимости от видов многоугольников, образующих многогранники, они делятся на множество групп. Рассмотрим самые важные из них.
По форме различают правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.
Многогранник называется правильным, если:
1) он выпуклый;
2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4) все его двугранные углы равны.
В свое время Евклид доказал, что правильных многогранников существует всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, – и даже посвятил им XIII том «Начал». Стороны многогранников образованы правильными треугольниками (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), квадратами (куб) и правильными пятиугольниками (додекаэдр).
Названия многогранников имеют древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. «Эдра» -грань, «тетра» – четыре, «гекса» – шесть, «окта» – восемь, «додека» – двенадцать, «икоса» – двадцать.
Цель исследования заключается в анализе специфики многогранников в истории и теории геометрии.
Задачи работы:
– Свойства многогранников.
– Комбинаторика выпуклых многогранников: теоремы.
– Комбинаторика выпуклых многогранников в школьном курсе геометрии.
В качестве гипотезы выступает предположение о том, что многогранники недостаточно глубоко изучены.
Объект исследования: виды многогранников и области их применения.
Процедура исследования состояла из следующих этапов: сбор и анализ материала, обзор работ учёных по данной тематике, проведение классификации многогранников и областей их применения. В качестве методов исследования применялись описательный, поисковый, метод сравнения и сопоставления, метод анализа и синтеза информации, полученной из различных источников.
Новизна исследования заключается в том, что работа представляет собой интереснейший исторический материал, роль которого в геометрии весьма существенна. На основании полученных данных пришли к выводам: с одной стороны появление новой теории о многогранниках расширяет кругозор учащихся, а с другой стороны практических задач по этим видам многогранников почти нет.
Поэтому практическую часть данного объекта нужно значительно расширить и углубить.
Область практического применения: как дидактический материал на уроках геометрии, истории, изобразительного искусства, черчения, литературы
Методы исследования: теоретический анализ научной исследовательской литературы, анализ теорий выпуклых многогранников на основе школьного курса математики и высшей математики.
Структура работы представлена введением, тремя главами, заключением и списком литературы.
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ

1.1. Выпуклые многогранники и их свойства

В школьных учебниках геометрии многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.
Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что[11]:
каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.
Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны – ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. Выпуклым многогранником называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.
Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают[32]:
невыпуклыми;
выпуклыми (правильные и неправильные).
Правильный многогранник – это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:
тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
додекаэдр: 30, 12, 20;
октаэдр: 12, 8, 6;
икосаэдр: 30, 20, 12.
На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.



Рисунок 1 – Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников[12]

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Доказательство. Пусть F – какая-нибудь грань многогранника M, и A, B – точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т.е. F – выпуклый многоугольник.




Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника[34].
Доказательство. Пусть M – выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т.е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.
Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство. Предположим противное, т.е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.
Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.
Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу 1, в которой В – число вершин, Р – ребер и Г – граней данного многогранника:

Табграни 1 – Характеристика многогранников[2]
Название многогранника
В
Р
Г

Треугольная пирамида
4
6
4

Четырехугольная пирамида
5
8
5

Треугольная призма
6
9
5

Четырехугольная призма
8
12
6

n-угольная пирамида
n+1
2n
n+1

n-угольная призма
2n
3n
n+2

n-угольная усеченная
пирамида
2n
3n
n+2


Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В – Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

1.2. Правильные многогранники и их свойства

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.
Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название «многогранники». Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.
Тем не менее, у всех многогранников есть общие свойства[30]:
Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.
Многогранники можно условно разделить на[9]:
Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
Невыпуклые многогранники (звёздчатые).
Призма и её свойства.
Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как[9]:
Параллелепипед – образуется, если в основании лежит параллелограмм – многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.


Рисунок 5 – Призма

Основные свойства призмы:
Конгруэнтные основания.
Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
Все боковые грани имеют форму параллелограмма.
Пирамида.
Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.



Рисунок 6 – Пирамида

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей[23]:
Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.
Свойства пирамиды:
В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.
Правильный многогранник: виды и свойства многогранников
В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:
Тетраэдр.
Гексаэдр.
Октаэдр.
Додекаэдр.
Икосаэдр.
Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с при

Заказать эту работу прямо сейчас

Посмотреть другие готовые работы по предмету МАТЕМАТИКА ИНФОРМАТИКА

© 2002-2024 Москва 'Мастерская дипломов'. Все права защищены.